La ecuación diferencial más simple es
$$\dot{x}=ax$$
donde $x\in\mathbb{R}$ y $a$ es un parámetro de valor real. A pesar de su simplicidad, esta ecuación nos permite introducir varios conceptos importantes para el resto de este ebook. Podemos interpretarla como un modelo ingenuo para el crecimiento de poblaciones bacterianas.
Bacterias.
Consideremos un recipiente lleno de una solución nutritiva y bacterias. A medida que pasa el tiempo, las bacterias se reproducen (por división) y mueren. Sea $b$ (de nacimiento) la velocidad a la que se reproducen las bacterias y $d$ (de muerte) la velocidad a la que mueren. Entonces, el crecimiento neto de la población se hace a la tasa $b-d$. Esto significa que si hay $x$ bacterias en el recipiente, entonces el ritmo al que aumenta el número de bacterias es $(b-d)x$, es decir,
$$\dot{x}=ax$$
donde $a=b-d$. ¿Qué significa exactamente esta ecuación? Significa que $x=x(t)$ es una función desconocida de valor real de una variable real $t$, interpretada como tiempo, y $\dot{x}$ es su derivada. En este libro electrónico utilizaremos la mayor parte del tiempo la notación $\dot{x}$ para $\frac{text{d}x}{text{d}t}$.
Para cada valor del parámetro $a$ tenemos una ecuación diferencial. La ecuación nos dice que para cada valor de $t$ la relación $\dot{x}(t)=ax(t)$ es cierta. Se puede resolver explícitamente desde el cálculo (por separación de variables): la función $x(t)=c e^{at}$ es una solución donde $c$ es una constante de integración arbitraria. Además, no hay otras soluciones.
$$
\frac{\text{d}}{\text{d}t} \big(y(t)\, e^{-at}\big)
= \dot{y}(t)\,e^{-at}+y(t)(-a\,e^{-at})
= ay(t)\, e^{-at}-ay(t)\, e^{-at}=0.$$
Para ver esto, sea $y(t)$ una solución cualquiera y calcule la derivada temporal de $y(t)\, e^{-rt}$:
Por lo tanto $y(t)\, e^{-at}$ es una constante $c$, por lo que $y(t)=ce^{at}$. Esto demuestra nuestra afirmación.
Por lo tanto, hemos encontrado todas las soluciones posibles de esta ecuación diferencial. Para determinar completamente una solución particular, tenemos que encontrar la constante $c$. Esto es posible si especificamos el valor $x_0$ de una solución en un momento dado $t_0$. En efecto, si exigimos que $x(t_0)=x_0$ entonces debemos tener $ce^{at_0}=x_0$, de modo que $c=x_0\, e^{a t_0}$. Habiendo determinado $c$, tenemos por tanto una única solución que satisface la condición inicial $x(t_0)=x_0$. Con la interpretación que tenemos en mente, tomamos $x_0>0$ ya que una cantidad de bacterias es un número positivo. Cuando $x_0=0$, $x(t)\equiv 0$; esta solución constante se denomina punto fijo de la ecuación.
Por simplicidad podemos tomar $t_0=0$; entonces $c=x_0$. No hay pérdida de generalidad al hacer esto, ya que si $x(t)$ es una solución con $x(0)=x_0$, entonces la función $x^*(t)=x(t-t_0)$ es una solución con $x^*(t_0)=x_0$.
Por lo tanto, dada $x(0)=x_0$, la ecuación diferencial $\dot{x}=ax$ tiene una solución única $x(t)=x_0 e^{at}$. Su comportamiento depende del signo de $a$:
- Si $a>0$, $\lim_{t\to+\infty} x(t)=+\infty$ para todo $x_0>0$;
- Si $a=0$, $x(t)=x_0$ para todo $t\geq 0$;
- Si $a<0$, $\lim_{t\to+\infty} x(t)=0$ para todo $x_0>0$.
Si los nacimientos prevalecen sobre las muertes, es decir, si $b>d$, entonces $a>0$ y la población aumenta exponencialmente hasta $+\infty$. Si las muertes prevalecen sobre los nacimientos, entonces $a<0$ y la población se extingue exponencialmente rápido. Cuando los nacimientos y las muertes se compensan exactamente, el tamaño de la población permanece constante. Según la ecuación, siempre se necesita el mismo tiempo para duplicar la población si $a>0$, o para reducirla a la mitad si $a<0$, independientemente de su tamaño.
Olvidando los aspectos de modelización, la ecuación $\dot{x}=ax$ puede estudiarse, por supuesto, para cualquier condición inicial de valor real $x_0$, no necesariamente positiva. Para completar la lista anterior de comportamientos, tenemos $\lim_{t\to+\infty} x(t)=-\infty$ cuando $a>0$ y $x_0<0$. Cuando $a<0$, el destino de la solución es independiente del signo de $x_0$.
Ni que decir tiene que la ecuación $\dot{x}=ax$ se encuentra en un gran número de otros problemas, por ejemplo para describir la desintegración radiactiva ($a<0$).
Robustez y bifurcación.
La ecuación $\dot{x}=ax$ es robusta en cierto sentido si $a\neq 0$. Más precisamente, si $a$ se sustituye por otra constante $a’$ cuyo signo es el mismo que $a$, entonces el comportamiento cualitativo de las soluciones no cambia. Pero si $a=0$, el más mínimo cambio en $a$ provoca un cambio drástico en el comportamiento de las soluciones. Decimos que tenemos una bifurcación en $a=0$ en la familia de ecuaciones de un parámetro $\dot{x}=ax$. Más adelante veremos muchos ejemplos de bifurcaciones (más interesantes).