La ecuación de Van der Pol se diseñó como modelo para un oscilador electrónico en la década de 1920. No vamos a entrar en la derivación de este modelo. En cualquier caso, se trata de una descripción matemática de una tecnología obsoleta basada en tubos de radio, los predecesores de nuestros transistores actuales.
The equation is
$$ \ddot{u}+\epsilon(1-u^2)\dot{u}+u=0 $$
donde $u$ representa la tensión.
Como hemos hecho para el oscilador armónico y el péndulo, pasamos a la representación del plano de fase fijando $x=u$ e $y=\dot{u}$ para obtener
$$ \begin{cases} \dot{x}= y\\ \dot{y}=-x-\epsilon(1-x^2) y \end{cases} $$
donde $\epsilon\geq 0$. Cuando $\epsilon=0$ reconocemos las ecuaciones para el oscilador armónico que hemos visto antes.
Como podemos observar, la ecuación de Van der Pol describe un sistema que, independientemente del estado inicial diferente de $(0,0)$ eventualmente terminará en el mismo comportamiento periódico. La trayectoria de tal solución periódica se denomina ciclo límite. Aquí tenemos un ciclo límite atractivo. Incluso se puede demostrar que esta propiedad es robusta, en el sentido de que pequeños cambios del lado derecho de la ecuación diferencial no cambiarán esta propiedad.