La ecuación logística - Generative eBooks

A corto plazo, la ecuación $\dot{x}=ax$ con $a>0$ tiene sentido para describir nuestra población de bacterias. En efecto, podemos imaginar que, durante un breve intervalo de tiempo, las bacterias no se aglomeran y el tamaño de la población es $e^{at}x_0$ si hay $x_0$ bacterias en el momento $0$. Pero, a medida que pasa el tiempo, ese crecimiento exponencial implicaría que el número de bacterias es excesivamente grande (¡mayor que el número de átomos del universo, si lo tomamos al pie de la letra!)

Para eliminar este gran inconveniente, supongamos que la tasa de mortalidad ya no es constante, sino igual a $dx$, de modo que si hay $x$ bacterias, su número aumenta a una tasa $dx^2$. Para los nacimientos, supongamos una tasa de reproducción constante $b$, de modo que si hay $x$ bacterias, su número aumenta a una tasa $bx$. Obtenemos así la llamada ecuación logística

$$ \dot{x}=bx-dx^2.$$

Se trata de una ecuación diferencial para la que se conoce una solución explícita.

Por el método de separación de variables, no es difícil demostrar que

$$ x(t)=\frac{x_0 b e^{bt}}{(b-dx_0)+dx_0 e^{bt}}$$

es una solución de la ecuación $\dot{x}=bx-dx^2$ tal que $x(0)=x_0$ está dada. De hecho, es la única solución de este tipo, pero, en este momento, carecemos de un teorema fundamental para justificar esta afirmación.

La idea es representar $\dot{x}$ frente a $x$; se trata de una curva parabólica. Trazamos sólo $x\geq 0$ ya que no tiene sentido pensar en una población negativa (aunque en principio podemos estudiar la ecuación logística en toda la recta real). Además, dibujamos flechas en el eje $x$ que apuntan a la derecha cuando $\dot{x}>0$ y a la izquierda cuando $\dot{x}<0$.

Una forma física de pensar en la ecuación logística es imaginar una partícula que se mueve constantemente a lo largo del eje $x$ con una velocidad que varía de un lugar a otro, según la regla $\dot{x}=bx-dx^2$. Una partícula que parte de un punto $x$ donde $\dot{x}=0$ permanecerá allí para siempre. Tales puntos, llamados puntos fijos, desempeñan un papel crucial.

Tenemos dos puntos fijos para la ecuación logística: $\bar{x}=0$ y $\bar{x}=b/d$. Estos son los puntos en los que la parábola se cruza con el eje $x$. Para estos valores de tamaño, el tamaño de la población no es ni creciente ni decreciente. Como $\dot{x}=bx-dx^2$, la condición de que $\dot{x}=0$ equivale a que para estos dos valores especiales las tasas netas de reproducción/muerte están exactamente en equilibrio. Así pues, tenemos dos tamaños de población autosostenibles: $\bar{x}=0$ y $\bar{x}=b/d$.

Vemos en el gráfico que si partimos de cualquier tamaño de población $x_0>0$, ésta tenderá a $\bar{x}=b/d$. La cantidad $b/d$ se denomina capacidad de carga de la población. En este momento, no podemos decir si la capacidad de carga se alcanza en un tiempo finito. Veremos que no es así.

Podemos llevar más allá el (…)

Podemos llevar más allá el análisis de la gráfica para deducir la forma cualitativa de las soluciones ¡sin llegar a resolver la ecuación! Por ejemplo, si $x_0<\frac{b}{2d}$, la partícula se mueve cada vez más rápido hasta que cruza $x=\frac{b}{2d}$, donde la parábola alcanza su máximo. A continuación, la partícula se ralentiza y finalmente se arrastra hacia $x=\frac{b}{d}$. En términos biológicos, esto significa que la población crece inicialmente de forma acelerada, y la gráfica de $x(t)$ es cóncava hacia arriba. Pero, después de $x=\frac{b}{2d}$, la derivada $\dot{x}$ comienza a disminuir, y por lo tanto $x(t)$ es cóncava hacia abajo, ya que asimila a la línea horizontal $x=\frac{b}{d}$. Así la gráfica de $x(t)$ tiene forma de S o sigmoidea para $x_0<\frac{b}{2d}$.
Algo cualitativamente diferente ocurre si la condición inicial $x_0$ se encuentra entre $\frac{b}{2d}$ y $\frac{b}{d}$; ahora las soluciones son decrecientes desde el principio. Por tanto, estas soluciones son cóncavas hacia abajo para todo $t$. Si el tamaño de la población supera inicialmente la capacidad de carga $\frac{b}{d}$ ($x_0>\frac{b}{d}$), entonces $x(t)$ disminuye hacia $x=\frac{b}{d}$ y es cóncava hacia arriba.
Por último, si $x_0=0$ o $x_0=\frac{b}{d}$, entonces la población permanece constante.