Resumimos los puntos más destacados de este capítulo.
Primero consideramos algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales unidimensionales, es decir, ecuaciones de la forma $\dot{x}=f(x)$, donde $x\in\mathbb{R}$ y $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Esperamos que una gran cantidad de información sobre el comportamiento de las soluciones para ser fácilmente obtenible a partir de un simple estudio gráfico, a saber, mediante el trazado $\dot{x}$ frente a $x$, sin llegar a resolver la ecuación. Lo que queda es la cuestión de la existencia y unicidad de las soluciones y un tratamiento sistemático de los puntos fijos.
A continuación consideramos ecuaciones diferenciales en el plano, es decir, ecuaciones de la forma
$$ \begin{cases} \dot{x}=f(x,y)\\ \dot{y}=g(x,y) \end{cases} $$
donde $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ y $f,g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$. El primer ejemplo fue el modelo de Volterra de interacción entre tiburones y sardinas. Entendimos cómo visualizar de una vez todas las trayectorias en el plano $xy$ para obtener el `retrato de fase’ de las ecuaciones. Una trayectoria puede considerarse como la curva que trazaría una partícula al caer en el flujo de un fluido imaginario cuyo vector velocidad viene dado por $(f(x,y),g(x,y))$ en cada punto $(x,y)$. Una vez más, dejamos de lado la cuestión de la existencia y unicidad de soluciones.
Los modelos de población como el de Volterra son ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden, ya que las funciones desconocidas $x(t)$ e $y(t)$ están determinadas por ecuaciones que implican su primera derivada.
Los ejemplos procedentes de la mecánica clásica son ecuaciones diferenciales de segundo orden. En efecto, si se considera, por ejemplo, una partícula de masa $m$ constreñida a una línea recta, su movimiento se rige, según la segunda ley de Newton, por una ecuación de la forma $m\ddot{x}=f(x)$ donde $f(x)$ es la fuerza que actúa en el punto $x$. Así, la función desconocida $x(t)$ viene determinada por una ecuación que implica su segunda derivada. Vimos un truco muy bonito para visualizar en el plano $xy$ este tipo de ecuación poniendo $y=\dot{x}$, lo que da $\dot{y}=\ddot{x}=f(x)$; esto nos lleva a las ecuaciones
$$ \begin{cases} \dot{x}=y\\ \dot{y}=\frac{f(x)}{m} \cdot \end{cases} $$
Así pues, tratamos la velocidad como una segunda dimensión. Entonces podemos interpretar la ecuación $m\ddot{x}=f(x)$ como un flujo de fluido imaginario en el plano $xy$ cuyo campo de velocidad en $(x,y)$ viene dado por $(y,f(x)/m)$. Podemos ver fácilmente varios movimientos de un sistema mecánico simultáneamente, y cómo encajan entre sí, algo que es casi imposible de hacer mediante una observación física directa. También vimos una ecuación diferencial de segundo orden de la teoría de circuitos eléctricos que podíamos visualizar de esta manera.
Generalización
En principio, seguimos teniendo la misma interpretación geométrica para un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma
$$ \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) $$
donde $\boldsymbol{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ y $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=(f_1(\boldsymbol{x}),\ldots,f_n(\boldsymbol{x}))$, donde cada $f_i$ es una función de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}$. Vimos un ejemplo para $n=3$, a saber, una cadena alimentaria de tres especies. Por supuesto, una visualización directa más allá de $n\geq 3$ es difícil, pero uno puede mirar a diferentes proyecciones de dimensión inferior.
No es difícil generalizar el caso de las ecuaciones diferenciales de segundo orden unidimensionales a dimensiones superiores. Si consideramos, por ejemplo, una partícula en $\mathbb{R}^3$ sometida a una fuerza $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ que depende sólo de su posición $\boldsymbol{x}$, entonces podemos establecer $y_i=\dot{x}_i$, $i=1,2,3$, y reescribir las tres ecuaciones de movimiento como las seis ecuaciones
$$ \begin{cases} \dot{x}_i=y_i\\ \dot{y}_i=\frac{f_i(\boldsymbol{x})}{m}\, ,\quad i=1,2,3. \end{cases} $$
Por lo tanto, el movimiento de una partícula en $\mathbb{R}^3$ puede representarse completamente como el movimiento de un punto en un espacio de fase de seis dimensiones, a saber $\mathbb{R}^6$. Si ahora tenemos $N$ partículas, cada uno de ellos se describe por seis números en cada momento $t$, tres para la posición y tres para la velocidad, puede ser completamente descrito como punto en movimiento en el espacio de fase $\mathbb{R}^{3N}$.
Otra generalización que el lector puede adivinar es cuando tenemos ecuaciones diferenciales de orden superior a dos. En resumen, la clase fundamental de ecuaciones diferenciales es la de primer orden, a la que se puede llevar una ecuación diferencial de orden superior introduciendo un número suficiente de nuevas coordenadas para obtener el espacio de fases apropiado. Un punto en este espacio abstracto da la descripción completa del sistema en cualquier tiempo dado $t$, y una solución de la ecuación original puede visualizarse como el movimiento de una partícula en un flujo de fluido abstracto en este espacio de fase.
Posibles comportamientos a largo plazo de las soluciones.
No es casualidad que hayamos observado un aumento de la complejidad del comportamiento de las soluciones en nuestros ejemplos a medida que aumentaba la dimensión de su espacio de fases.
En dimensión uno, todas las soluciones tienen que comportarse monotónicamente o permanecer constantes (punto fijo).
En la dimensión dos, hay ‘más espacio’ para las soluciones: además de soluciones constantes (equilibrios), observamos soluciones periódicas (trayectorias cerradas). En dimensión tres, observamos un fenómeno que resulta imposible en dimensión dos, a saber, ‘atractores caóticos’. (Por supuesto, dejamos de lado las soluciones que escapan al infinito que es un comportamiento posible (poco interesante) en cualquier dimensión).
Unicidad de las soluciones $=$ determinismo $\neq$ previsibilidad.
Como hemos mencionado, no nos enfrentamos al problema de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales. Esto se hará en detalle en la secuela. Resulta que la existencia y la unicidad están garantizadas bajo una suposición general. La unicidad tiene una consecuencia muy importante: dos trayectorias en el espacio de fase nunca pueden intersecarse. Esta propiedad se denomina determinismo en física: dado un estado inicial del sistema, su evolución en el futuro (y en el pasado, es decir, mirando hacia atrás en el tiempo) está completamente determinada. Pero determinismo no es sinónimo de previsibilidad, como sugiere el ejemplo de la cadena alimentaria de tres especies. En efecto, es posible que un cambio minúsculo en el estado inicial del sistema conduzca a un futuro totalmente distinto. Esto es el caos determinista.
Acerca de la resolución de ecuaciones diferenciales en un ordenador.
Dado que el punto de vista de este ebook es utilizar experimentos digitales, uno debería preocuparse por lo que realmente dibuja un ordenador. De hecho, estamos obligados a discretizar una ecuación diferencial y, por tanto, estamos computando una aproximación a la solución verdadera, que, por cierto, rara vez puede escribirse en términos elementales. Este es el tema de los métodos numéricos que no profundizaremos en este ebook. Nos contentamos con mencionar que utilizamos métodos numéricos potentes estándar como el método Runge-Kutta.