L’équation de Van der Pol a été conçue comme modèle d’oscillateur électronique dans les années 1920. Nous ne nous étendrons pas sur la dérivation de ce modèle. Il s’agit en tout cas d’une description mathématique d’une technologie obsolète basée sur des tubes radio, les prédécesseurs de nos transistors actuels.
L’équation est la suivante
$$ \ddot{u}+\varepsilon\,(1-u^2)\,\dot{u}+u=0 $$
où $u$ représente le voltage.Comme nous l’avons fait pour l’oscillateur harmonique et le pendule, nous passons à la représentation du plan de phase en définissant $x=u$ and $y=\dot{u}$ pour obtnenir
$$ \begin{cases} \dot{x}= y\\ \dot{y}=-x-\varepsilon\,(1-x^2) y \end{cases} $$
où $\varepsilon\geq 0$. Lorsque $\varepsilon=0$, nous reconnaissons les équations de l’oscillateur harmonique que nous avons vues précédemment.Comme nous pouvons l’observer, l’équation de Van der Pol décrit un système qui, indépendamment de l’état initial différent de $(0,0)$ finira par avoir le même comportement périodique. La trajectoire d’une telle solution périodique est appelée un cycle limite. Ici, nous avons un cycle limite attractif. On peut même montrer que cette propriété est robuste, dans le sens où de petites modifications du champ de vecteurs ne changeront pas cette propriété.