L’équation de Van der Pol a été conçue dans les années 1920 comme modèle d’oscillateur électronique. Nous ne reviendrons pas en détail sur la manière dont ce modèle a été établi. Il s’agit en tout cas d’une description mathématique d’une technologie aujourd’hui dépassée, fondée sur les tubes radio — les ancêtres de nos transistors actuels. Cela n’enlève rien à l’intérêt de ce modèle, qui permet d’introduire un phénomène particulièrement remarquable.
L’équation est la suivante
$$ \ddot{u}+\varepsilon\,(1-u^2)\,\dot{u}+u=0 $$
où $u$ représente le voltage.Comme nous l’avons fait pour l’oscillateur harmonique et le pendule, nous passons à la représentation du plan de phase en définissant $x=u$ and $y=\dot{u}$ pour obtnenir
$$ \begin{cases} \dot{x}= y\\ \dot{y}=-x-\varepsilon\,(1-x^2)\, y \end{cases} $$
où $\varepsilon\geq 0$. Lorsque $\varepsilon=0$, nous reconnaissons les équations de l’oscillateur harmonique que nous avons vues précédemment.Comme nous pouvons l’observer, l’équation de Van der Pol décrit un système qui, indépendamment de l’état initial différent de $(0,0)$ finira par avoir le même comportement périodique. La trajectoire d’une telle solution périodique est appelée un cycle limite. Ici, nous avons un cycle limite attractif. On peut même montrer que cette propriété est robuste, dans le sens où de petites modifications du champ de vecteurs ne changeront pas cette propriété.