L’exemple le plus simple - Generative eBooks

L’équation différentielle la plus simple est

$$\dot{x}=ax$$

où $x\in\mathbb{R}$ et $a$ est un paramètre à valeur réelle. Malgré sa simplicité, cette équation nous permet d’introduire plusieurs concepts importants pour la suite de cet ebook. Nous pouvons l’interpréter comme un modèle naïf de la croissance des populations bactériennes.

Bactéries.
Considérons un récipient rempli d’une solution nutritive et de bactéries. Au fil du temps, les bactéries se reproduisent (par division) et meurent. Soit $b$ le taux auquel les bactéries se reproduisent et $d$ le taux auquel elles meurent. Alors, la croissance nette de la population se fait au taux $b-d$. Cela signifie que s’il y a $x$ bactéries dans le récipient, alors la vitesse à laquelle le nombre de bactéries augmente est $(b-d)x$, c’est-à-dire,

$$\dot{x}=ax$$

où $a=b-d$. Que signifie exactement cette équation ? Elle signifie que $x=x(t)$ est une fonction inconnue à valeur réelle d’une variable réelle $t$, interprétée comme le temps, et que $\dot{x}$ est sa dérivée. Dans cet ebook, nous utiliserons la plupart du temps la notation $\dot{x}$ pour $\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$.
Pour chaque valeur du paramètre $a$ on a une équation différentielle. L’équation nous dit que pour chaque valeur de $t$ la relation $\dot{x}(t)=ax(t)$ est vraie. Elle peut être résolue explicitement (par la méthode de séparation des variables) : la fonction $x(t)=c\,\text{e}^{at}$ est une solution où $c$ est une constante d’intégration arbitraire. De plus, il n’y a pas d’autres solutions.

(Détails)

Pour voir cela, laissons $y(t)$ être une solution quelconque et calculons la dérivée temporelle de $y(t)\, \text{e}^{-rt}$ :

$$ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \big(y(t)\, \text{e}^{-at}\,\big) = \dot{y}(t)\,\text{e}^{-at}+y(t)(-a\,\text{e}^{-at}\,) = ay(t)\, \text{e}^{-at}-ay(t)\, \text{e}^{-at}=0.$$

Donc $y(t)\, \text{e}^{-at}$ est une constante $c$, donc $y(t)=c\, \text{e}^{at}$. Ceci prouve notre assertion.

Nous avons donc trouvé toutes les solutions possibles de cette équation différentielle. Pour déterminer complètement une solution particulière, nous devons trouver la constante $c$. Ceci est possible si nous spécifions la valeur $x_0$ d’une solution à un instant donné $t_0$. En effet, si nous exigeons que $x(t_0)=x_0$ alors nous devons avoir $c\,\text{e}^{at_0}=x_0$, donc $c=x_0\, \text{e}^{a t_0}$. Ayant déterminé $c$, nous avons donc une solution unique satisfaisant la condition initiale $x(t_0)=x_0$. Avec l’interprétation que nous avons en tête, nous prenons $x_0>0$ puisqu’une quantité de bactéries est un nombre positif. Lorsque $x_0=0$, on a $x(t)\equiv 0$ ; cette solution constante est appelée point fixe pour l’équation.

Pour simplifier, nous pouvons prendre $t_0=0$ ; alors $c=x_0$. Il n’y a aucune perte de généralité en faisant cela, car si $x(t)$ est une solution telle que $x(0)=x_0$, alors la fonction $x^*(t)=x(t-t_0)$ est une solution qui satisfait $x^*(t_0)=x_0$.
Par conséquent, étant donné $x(0)=x_0$, l’équation différentielle $\dot{x}=ax$ a une solution unique $x(t)=x_0\, \text{e}^{at}$. Son comportement dépend du signe de $a$ :

Si $a>0$ alors $\lim_{t\to+\infty} x(t)=+\infty$ pour tout $x_0>0$ ;
Si $a=0$ alors $x(t)=x_0$ pour tout $t\geq 0$ ;
Si $a<0$ alors $\lim_{t\to+\infty} x(t)=0$ pour tout $x_0>0$.

Si les naissances l’emportent sur les morts, c’est-à-dire si $b>d$, alors $a>0$ et la population augmente exponentiellement jusqu’à $+\infty$. Si les morts l’emportent sur les naissances, alors $a<0$ et la population s’éteint à une vitesse exponentielle. Lorsque les naissances et les morts se compensent exactement, la taille de la population reste constante. Selon l’équation, il faut toujours la même durée pour doubler la population si $a>0$, ou pour la réduire de moitié si $a<0$, quelle que soit sa taille.
En oubliant les aspects de modélisation, l’équation $\dot{x}=ax$ peut bien sûr être étudiée pour toute condition initiale à valeur réelle $x_0$, pas nécessairement positive. Pour compléter la liste de comportements ci-dessus, nous avons $\lim_{t\to+\infty} x(t)=-\infty$ lorsque $a>0$ et $x_0<0$. Lorsque $a<0$, le sort de la solution est indépendant du signe de $x_0$.

Inutile de préciser que l’équation $\dot{x}=ax$ se rencontre dans un grand nombre d’autres problèmes, par exemple pour décrire la décroissance radioactive ($a<0$).

Robustesse et bifurcation.
L’équation $\dot{x}=ax$ est robuste dans un certain sens si $a\neq 0$. Plus précisément, si $a$ est remplacé par une autre constante $a’$ ayant le même le signe, alors le comportement qualitatif des solutions ne change pas. Mais si $a=0$, la moindre modification de $a$ entraîne un changement radical du comportement des solutions. Nous disons que nous avons une bifurcation en $a=0$ dans la famille d’équations à un paramètre $\dot{x}=ax$. Nous verrons plus tard de nombreux exemples de bifurcations (plus intéressantes).